Apprendre à réaliser des simulations aléatoires en Python

>>> import random
>>> 
>>> # initialise le générateur en utilisant l'heure système ou un générateur aléatoire physique
>>> random.seed()

>>> # tire au hasard un nombre à virgule flottante dans l'intervalle 0.0 ≤ x < 1.0.
>>> random.random()
0.5317718825456861

>>> # tire un entier au hasard dans la séquence 0, 2, 4, 6, 8
>>> random.randrange(0, 10, 2)
4

>>> # tire au hasard un entier compris entre 1 et 10 inclus
>>> random.randint(1, 10)
7

>>> seq = ['a','b','c','d','e','f']
>>> random.choice(seq)
'd'

>>> seq = ['a','b','c','d','e','f']
>>> random.choices(population=seq, k=10) # tirage avec remise de 10 éléments dans seq
['e', 'b', 'b', 'f', 'e', 'a', 'a', 'b', 'f', 'c']

>>> x = ['a','b','c','d','e','f']
>>> random.shuffle(x)
['c', 'e', 'f', 'b', 'a', 'd']

>>> seq = ['a','b','c','d','e','f']
>>> random.sample(population=seq, k=5) # tirage sans remise de 5 éléments dans seq
['e', 'c', 'a', 'd', 'f']

import random
            
# moyenne m et écart-type s de la loi normale
m = 40; s = 4.5
    
# génère une séquence de 100 valeurs suivant une loi normale N(m,s^2)
x = [random.gauss(mu=m, sigma=s) for _ in range(100)]

# tirage de pile ou face
resultat = random.choice(["Pile","Face"])

import random

print("III-A. Simuler un jeu de pile ou face\n")

# initialisation des compteurs : compteur joueur n°1, compteur joueur n°2, compteur de tirages
cpt_joueur1 = 0; cpt_joueur2 = 0; cpt_tirages = 0

# saisie des noms des joueurs
nom_joueur1 = input("Nom du joueur n°1 (Pile) : ")
nom_joueur2 = input("Nom du joueur n°2 (Face) : ")

print()

# tirage ('o': oui, 'n': non)
tirage = input("Commencer le jeu ? (o/n) : ")

print()

# initialisation du générateur de nombres pseudo-aléatoires
random.seed()
 
# réalisation de tirages successifs de pile ou face tant que tirage = "o"
while tirage=="o":
    
    # incrémentation du compteur de tirages
    cpt_tirages += 1 

    print("-- Lancé n°{0} --\n".format(cpt_tirages))
    
    # tirage de pile ou face
    resultat = random.choice(["Pile","Face"])

    print("Résultat : ", resultat)

    # si pile
    if resultat=="Pile":
        cpt_joueur1 += 1 # incrémente le compteur du joueur n°1
    else: # sinon    
        cpt_joueur2 += 1 # incrémente le compteur du joueur n°2

    print()

    # affiche les scores    
    print("{0} : {1} points".format(nom_joueur1, cpt_joueur1))
    print("{0} : {1} points".format(nom_joueur2, cpt_joueur2))

    print()

    # poursuit-on le jeu ? ('o': oui, 'n': non)
    tirage = input("Poursuivre le jeu ? (o/n) : ")
    
    print()

# affiche le résultat du jeu
if cpt_joueur1>cpt_joueur2: # joueur n°1 gagne
    print('{0} gagne avec {1} points sur {2} possibles !'.format(nom_joueur1, cpt_joueur1, cpt_tirages))
else: # sinon
    if cpt_joueur1<cpt_joueur2: # joueur n°2 gagne
        print('{0} gagne avec {1} points sur {2} possibles !'.format(nom_joueur2, cpt_joueur2, cpt_tirages))
    else: # égalité
        print('Egalité entre les deux joueurs : {0} points chacun !'.format(cpt_joueur1))

III-A. Simuler un jeu de pile ou face

Nom du joueur n°1 (Pile) : Florent
Nom du joueur n°2 (Face) : Olivier

Commencer le jeu ? (o/n) : o

-- Lancé n°1 --

Résultat : Pile

Florent : 1 points
Olivier : 0 points

Poursuivre le jeu ? (o/n) : o

-- Lancé n°2 --

Résultat : Pile

Florent : 2 points
Olivier : 0 points

Poursuivre le jeu ? (o/n) : o

-- Lancé n°3 --

Résultat : Face

Florent : 2 points
Olivier : 1 points

Poursuivre le jeu ? (o/n) : o

-- Lancé n°4 --

Résultat : Pile

Florent : 3 points
Olivier : 1 points

Poursuivre le jeu ? (o/n) : n

Florent gagne avec 3 points sur 4 possibles !

import random
...            
# nombre de tirages successifs dans la simulation
k = 100000

# tirage de k valeurs suivant une loi normale
for i in range(k):
    # génère au hasard une valeur suivant la loi normale N(μ,σ^2)
    xi = random.gauss(μ,σ)
    ...

import random
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm

print("III-B. Simuler une gaussienne\n")
                    
# nombre d'épreuves de Bernoulli
n = 80

# probabilité de succès
p = 0.5

# moyenne μ et écart-type σ de la loi normale : N(μ,σ^2)≃ B(n,p)
μ = n*p
σ = math.sqrt(n*p*(1-p))

print("Espérance, μ =", μ)
print("Écart-type, σ =", σ)

# écart entre deux valeurs consécutives
h = 0.5

# génère la séquence des x : 0 -> n avec un pas de h
x = np.arange(0, n+1, h)
y = np.array([0]*len(x)) # [0, ..., 0]

print()
print("Tirage des valeurs suivant la loi normale ...")

# nombre de tirages successifs : simulation d'une variable de Gauss
k = 1000000

# initialisation du générateur de nombres pseudo-aléatoires
random.seed()

# tirage de k valeurs suivant une loi normale N(μ,σ^2)
for _ in range(k):
    # génère au hasard une valeur suivant la loi normale N(μ,σ^2)
    xi = random.gauss(μ,σ)
    
    # détermination de l'indice de la valeur dans la liste x
    i = round(xi/h) # x[i] - h/2 ≤ xi ≤ x[i] + h/2

    # incrémentation du compteur de la valeur d'indice i
    y[i] += 1

# calcul de la moyenne des valeurs en tenant compte de leur poids
m = np.average(x, weights=y)
 
# calcul de la variance des valeurs en tenant compte de leur poids
v = np.average((x-m)**2, weights=y)
 
# calcul de l'écart-type
s = math.sqrt(v)
 
print()
print("Moyenne observée =", m)
print("Écart-type observé =", s)

print()
print("Génération du graphique ...")

# division des effectifs par le nombre k de tirages
y = y/k

# nom et dimension de la figure contenant le graphique
plt.figure(num="Figure : Loi normale", figsize=(8, 5), dpi=80)

# trace la ccurbe de Gauss
plt.plot(x, h*norm.pdf(x,μ,σ), color="red", label='Loi normale N(μ,σ' + chr(0x00B2) + ')')

# trace les barres correspondant aux fréquences observées
plt.bar(x, y, width = h, color="white", edgecolor = 'blue', label='fréquences observées')

# limites sur l'axe des x : [μ - 4σ, μ + 4σ]
plt.xlim(μ - 4*σ, μ + 4*σ)

# limite inférieure sur l'axe des y
plt.ylim(0)

plt.title("Simulation d'une variable de Gauss")

# ajout de la légende
plt.legend()

# affiche le graphique
plt.show()

III-B. Simuler une gaussienne

Espérance, μ = 40.0
Écart-type, σ = 4.47213595499958

Tirage des valeurs suivant la loi normale ...

Moyenne observée = 40.000915
Écart-type observé = 4.478495357011661

Génération du graphique ...

# création de la  population suivant une loi normale de moyenne μ et d'écart-type σ.
population = [random.gauss(mu=μ, sigma=σ) for _ in range(N)]

# tirage sans remise d'un échantillon de taille n dans population
echantillon = random.sample(population, k=n)

import random
import numpy as np
import math

print("III-C. Simuler un échantillonnage aléatoire sur une population suivant une loi normale\n")

# taille de la population totale
N = 45000000

# taille moyenne des français et écart-type (valeurs inconnues utilisées pour la simulation)
μ = 175
σ = 7.2

print("Paramètres de la distribution de Gauss :\n")

print("Taille moyenne des français ≃", μ)
print("Ecart-type ≃", σ)

print()
print("Création de la population de base de taille N = {0} ...\n".format(N))

# initialisation du générateur de nombres pseudo-aléatoires
random.seed()
 # création de la  population de base : tailles des français
# en supposant que leur taille se répartisse suivant une loi normale de moyenne μ et d'écart-type σ.
population = [random.gauss(mu=μ, sigma=σ) for _ in range(N)]


# taille de l'échantillon
n = 1000

print("Tirage d'un échantillon de n = {0} individus".format(n))

# initialisation du générateur de nombres pseudo-aléatoires
random.seed()
 
# tirage sans remise d'un échantillon de dimension n dans population
echantillon = random.sample(population, k=n)

print()  
print("Echantillon représentatif :")
 
# Echantillon représentatif
print(echantillon)

print()

# calcul de la moyenne et de l'écart-type de l'échantillon
m = np.mean(echantillon)
s = np.std(echantillon)

print("Moyenne de l'échantillon =", m)

# intervalle de confiance sur la moyenne à 99,7 %
print("Intervalle de confiance à 99.7 % =", [m - 3*σ/math.sqrt(n), m + 3*σ/math.sqrt(n)])

print()

print("Ecart-type de l'échantillon =", s)

III-C. Simuler un échantillonnage aléatoire sur une population suivant une loi normale

Paramètres de la distribution de Gauss :

Taille moyenne des français ≃ 175
Ecart-type ≃ 7.2

Création de la population de base de taille N = 45000000 ...

Tirage d'un échantillon de n = 1000 individus

Echantillon représentatif :
[177.7548635176891, 172.95797319858872, 189.45775722849214, 173.29714340318452, 182.44108042734678, 180.090200994285, 187.1911861793668, 182.2286639672886, 164.66804791571886, 187.23141106882252,...]

Moyenne de l'échantillon = 175.00715275211775
Intervalle de confiance à 99.7 % = [174.32410077752138, 175.69020472671411]

Ecart-type de l'échantillon = 7.24380196890074